2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \leq x \leq 3$ のとき、最小値が1になる。このときの $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 3x + c$ において、$1 \leq x \leq 3$ のとき、最小値が1になる。このときの $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 3x + c = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + c$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + c$

この2次関数の頂点の $x$ 座標は $x = \frac{3}{2}$ である。これは、$1 \leq x \leq 3$ の範囲に含まれている。

したがって、$x = \frac{3}{2}$ のとき、最小値をとる。

最小値が1であることから、

$- \frac{9}{4} + c = 1$

この方程式を $c$ について解くと、

$c = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

$c = \frac{13}{4}$