あるテレビ番組の視聴率 $p$ を推定する調査に必要な世帯数を求める問題です。確率は0.99、推定誤差の絶対値は0.01以下とします。 $0.7 \leq p \leq 0.9$ であると考えられる場合の世帯数を求めます。

1. 問題の内容

あるテレビ番組の視聴率 $p$ を推定する調査に必要な世帯数を求める問題です。確率は0.99、推定誤差の絶対値は0.01以下とします。 $0.7 \leq p \leq 0.9$ であると考えられる場合の世帯数を求めます。

2. 解き方の手順

視聴率$p$ の信頼区間は、標本サイズ $n$ が十分大きいとき、以下の式で表されます。

$\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$\hat{p}$ は標本視聴率、 $z$ は信頼係数です。信頼確率が0.99なので、$z=2.576$ となります。推定誤差は $z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ であり、これが0.01以下になるように $n$ を決定する必要があります。

$z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq 0.01$

$n \geq (\frac{z}{0.01})^2 \hat{p}(1-\hat{p})$

$p$ の範囲が $0.7 \leq p \leq 0.9$ であるとき、$\hat{p}(1-\hat{p})$ が最大となるのは $p = 0.7$ または $p = 0.9$ のときであり、このとき $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0.7(1-0.7) = 0.7 \times 0.3 = 0.21$ となります。

したがって、

$n \geq (\frac{2.576}{0.01})^2 \times 0.21$

$n \geq (257.6)^2 \times 0.21$

$n \geq 66357.76 \times 0.21$

$n \geq 13935.13$

$n$ は整数でなければならないので、切り上げて $n = 13936$ となります。

3. 最終的な答え

必要な世帯数は13936です。