点 $\begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A$ が存在するかどうかを判定する問題です。もし存在する場合は $A$ を具体的に求め、そうでない場合はその理由を述べます。

1. 問題の内容

点 $\begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ に移し、かつ点 $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ を点 $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$ に移すような行列 $A$ が存在するかどうかを判定する問題です。もし存在する場合は $A$ を具体的に求め、そうでない場合はその理由を述べます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ を $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ とおきます。

与えられた条件から、以下の2つの式が成り立ちます。

$A \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$

$A \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$

これらの式を行列の形で書き下すと、以下のようになります。

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \end{bmatrix}$

これらの行列の積を計算すると、以下の連立方程式が得られます。

$-3a + 3b = 4$ (1)

$-3c + 3d = 5$ (2)

$2a - b = -2$ (3)

$2c - d = 0$ (4)

(3)式から $b = 2a + 2$ を得て、これを(1)式に代入すると、

$-3a + 3(2a + 2) = 4$

$-3a + 6a + 6 = 4$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

$b = 2a + 2 = 2(-\frac{2}{3}) + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$

(4)式から $d = 2c$ を得て、これを(2)式に代入すると、

$-3c + 3(2c) = 5$

$-3c + 6c = 5$

$3c = 5$

$c = \frac{5}{3}$

$d = 2c = 2(\frac{5}{3}) = \frac{10}{3}$

したがって、行列 $A$ は以下のようになります。

$A = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ は存在し、

$A = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{5}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$