(1)(ア) これは初項1、公比2、項数nの等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いる。
等比数列の和の公式は、
Sn=r−1a(rn−1) (ただし、aは初項、rは公比、nは項数) この問題の場合、a=1, r=2なので、
Sn=2−11(2n−1)=2n−1 (1)(イ) ∑k=1nk2=6n(n+1)(2n+1) 52+62+72+...+202=∑k=120k2−∑k=14k2 ∑k=120k2=620(20+1)(2(20)+1)=620(21)(41)=617220=2870 ∑k=14k2=64(4+1)(2(4)+1)=64(5)(9)=6180=30 52+62+72+...+202=2870−30=2840 (2) ∑k=1n(k2+2k+3)=∑k=1nk2+2∑k=1nk+∑k=1n3 ∑k=1nk2=6n(n+1)(2n+1) ∑k=1nk=2n(n+1) ∑k=1n3=3n したがって、
∑k=1n(k2+2k+3)=6n(n+1)(2n+1)+22n(n+1)+3n =6n(n+1)(2n+1)+n(n+1)+3n =6n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)+18n =6n((n+1)(2n+1)+6(n+1)+18) =6n(2n2+3n+1+6n+6+18) =6n(2n2+9n+25) =6n(2n2+9n+25)