(1) 次の和を求めよ。 (ア) $1+2+2^2+...+2^{n-1}$ (イ) $5^2+6^2+7^2+...+20^2$ (2) $\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+3)$ を計算せよ。

代数学数列等比数列シグマ和の公式
2025/7/20

1. 問題の内容

(1) 次の和を求めよ。
(ア) 1+2+22+...+2n11+2+2^2+...+2^{n-1}
(イ) 52+62+72+...+2025^2+6^2+7^2+...+20^2
(2) k=1n(k2+2k+3)\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+3) を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)(ア) これは初項1、公比2、項数nの等比数列の和なので、等比数列の和の公式を用いる。
等比数列の和の公式は、
Sn=a(rn1)r1S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} (ただし、aは初項、rは公比、nは項数)
この問題の場合、a=1, r=2なので、
Sn=1(2n1)21=2n1S_n = \frac{1(2^n-1)}{2-1} = 2^n - 1
(1)(イ) k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
52+62+72+...+202=k=120k2k=14k25^2+6^2+7^2+...+20^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{4} k^2
k=120k2=20(20+1)(2(20)+1)6=20(21)(41)6=172206=2870\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2(20)+1)}{6} = \frac{20(21)(41)}{6} = \frac{17220}{6} = 2870
k=14k2=4(4+1)(2(4)+1)6=4(5)(9)6=1806=30\sum_{k=1}^{4} k^2 = \frac{4(4+1)(2(4)+1)}{6} = \frac{4(5)(9)}{6} = \frac{180}{6} = 30
52+62+72+...+202=287030=28405^2+6^2+7^2+...+20^2 = 2870-30 = 2840
(2) k=1n(k2+2k+3)=k=1nk2+2k=1nk+k=1n3\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+3) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3
k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
k=1n3=3n\sum_{k=1}^{n} 3 = 3n
したがって、
k=1n(k2+2k+3)=n(n+1)(2n+1)6+2n(n+1)2+3n\sum_{k=1}^{n}(k^2+2k+3) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2} + 3n
=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)+3n= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) + 3n
=n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)+18n6= \frac{n(n+1)(2n+1)+6n(n+1)+18n}{6}
=n6((n+1)(2n+1)+6(n+1)+18)= \frac{n}{6}((n+1)(2n+1)+6(n+1)+18)
=n6(2n2+3n+1+6n+6+18)= \frac{n}{6}(2n^2+3n+1+6n+6+18)
=n6(2n2+9n+25)= \frac{n}{6}(2n^2+9n+25)
=n(2n2+9n+25)6= \frac{n(2n^2+9n+25)}{6}

3. 最終的な答え

(1)(ア) 2n12^n - 1
(1)(イ) 28402840
(2) n(2n2+9n+25)6\frac{n(2n^2+9n+25)}{6}

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