$\frac{4}{5} \int \cos^2(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\frac{4}{5} \int \cos^2(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^2(x)$ を積分するために、三角関数の倍角の公式を利用します。

$\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ より、$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ です。

したがって、

$\int \cos^2(x) dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) dx$

$= \frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \cos(2x) dx \right) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C$

$= \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

元の問題に戻ると、

$\frac{4}{5} \int \cos^2(x) dx = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) \right) + C$

$= \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} \sin(2x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} \sin(2x) + C$