与えられた関数の第 $n$ 次導関数を求めます。 (1) $y = e^x + e^{-x}$ (2) $y = \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた関数の第 $n$ 次導関数を求めます。

(1) $y = e^x + e^{-x}$

(2) $y = \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^x + e^{-x}$ の場合:

まず、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$y' = e^x - e^{-x}$

$y'' = e^x + e^{-x} = y$

$y''' = e^x - e^{-x} = y'$

$y'''' = e^x + e^{-x} = y'' = y$

したがって、$n$ が偶数のとき $y^{(n)} = e^x + e^{-x}$ であり、$n$ が奇数のとき $y^{(n)} = e^x - e^{-x}$ となります。

これをまとめるために、$(-1)^n$ を利用することを考えます。

$n$ が偶数のとき、$(-1)^n = 1$ であるので、 $y^{(n)} = e^x + e^{-x}$ となります。

$n$ が奇数のとき、$(-1)^n = -1$ であるので、 $y^{(n)} = e^x + (-1)e^{-x}$ となります。

(2) $y = \frac{1}{x}$ の場合:

これも同様に、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$y' = -\frac{1}{x^2}$

$y'' = \frac{2}{x^3}$

$y''' = -\frac{6}{x^4}$

$y'''' = \frac{24}{x^5}$

一般的に、$y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$ と推測できます。

3. 最終的な答え

(1)

$n$ が偶数のとき、$y^{(n)} = e^x + e^{-x}$

$n$ が奇数のとき、$y^{(n)} = e^x - e^{-x}$

これをまとめる形で表現するならば、

$y^{(n)} = \begin{cases} e^x + e^{-x} & (n \text{ が偶数}) \\ e^x - e^{-x} & (n \text{ が奇数}) \end{cases}$

(2) $y^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$