与えられた不定積分を計算します。 $$\int \cos^2 \left( \frac{5t-3}{4} \right) dt$$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

$$\int \cos^2 \left( \frac{5t-3}{4} \right) dt$$

2. 解き方の手順

(1) まず、半角の公式を使って$\cos^2 x$を書き換えます。

$$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$$

したがって、積分は

$$\int \cos^2 \left( \frac{5t-3}{4} \right) dt = \int \frac{1+\cos \left( \frac{5t-3}{2} \right)}{2} dt$$

$$= \frac{1}{2} \int \left( 1 + \cos \left( \frac{5t-3}{2} \right) \right) dt$$

(2) 積分を分けます。

$$= \frac{1}{2} \int 1 dt + \frac{1}{2} \int \cos \left( \frac{5t-3}{2} \right) dt$$

$$= \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \int \cos \left( \frac{5t-3}{2} \right) dt$$

(3) $\frac{5t-3}{2} = u$ とおくと $\frac{5}{2} dt = du$ より $dt = \frac{2}{5} du$となるので、

$$\frac{1}{2} \int \cos \left( \frac{5t-3}{2} \right) dt = \frac{1}{2} \int \cos(u) \frac{2}{5} du = \frac{1}{5} \int \cos(u) du$$

$$= \frac{1}{5} \sin(u) + C = \frac{1}{5} \sin \left( \frac{5t-3}{2} \right) + C$$

(4) したがって、

$$\int \cos^2 \left( \frac{5t-3}{4} \right) dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{5} \sin \left( \frac{5t-3}{2} \right) + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2}t + \frac{1}{5}\sin \left( \frac{5t-3}{2} \right) + C$$