次の値を求めよ。 (1) $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ (2) $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(\frac{3\pi}{5}\right)\right)$ (3) $\sin \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right)$ (4) $\cos \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right)$

1. 問題の内容

次の値を求めよ。

(1) $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

(2) $\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(\frac{3\pi}{5}\right)\right)$

(3) $\sin \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right)$

(4) $\cos \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right)$

2. 解き方の手順

(1) $\operatorname{Sin}^{-1}$ は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義される。$-\frac{\pi}{4}$ はこの範囲に含まれるので、

$\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{3\pi}{5}$ は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲に含まれない。

$\sin(\frac{3\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{5})$

$\frac{2\pi}{5}$ は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲に含まれるので、

$\operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(\frac{3\pi}{5}\right)\right) = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\sin \left(\frac{2\pi}{5}\right)\right) = \frac{2\pi}{5}$

(3) $\operatorname{Sin}^{-1}(x)$ の定義域は $-1 \le x \le 1$。$\frac{1}{5}$ はこの範囲に含まれる。

$\sin(\operatorname{Sin}^{-1}(x)) = x$ であるから、

$\sin \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right) = \frac{1}{5}$

(4) $\operatorname{Sin}^{-1}(x)$ の定義域は $-1 \le x \le 1$。$\frac{1}{5}$ はこの範囲に含まれる。

$\theta = \operatorname{Sin}^{-1}(\frac{1}{5})$ とおくと、$\sin \theta = \frac{1}{5}$ かつ $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、 $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \theta \ge 0$。よって、 $\cos \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos \left(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)\right) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{2\pi}{5}$

(3) $\frac{1}{5}$

(4) $\frac{2\sqrt{6}}{5}$