与えられた行列 $A$ で表される一次変換 $f(\vec{x}) = A\vec{x}$ によって、$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を2辺とする正方形がどのような図形に写されるか、また、平面上の変換 $f$ が一次変換であることの定義を行列を用いて述べ、最後に $f$ が平面上の一次変換であるとき、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ で表される一次変換 $f(\vec{x}) = A\vec{x}$ によって、$\vec{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\vec{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を2辺とする正方形がどのような図形に写されるか、また、平面上の変換 $f$ が一次変換であることの定義を行列を用いて述べ、最後に $f$ が平面上の一次変換であるとき、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{e_1}$ と $\vec{e_2}$ を2辺とする正方形の頂点は、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。これらの点が一次変換によってどのように写されるかを調べる。

(1) $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$ に写る。

したがって、正方形は平行四辺形に写される。頂点は$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$ である。

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ の場合

$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ に写る。

$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ に写る。

したがって、正方形は線分に写される。頂点は$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ であり、全て直線 $y = \frac{3}{2}x$ 上にある。

(2)

(1) 平面上の変換 $f$ が一次変換であるとは、ある $2 \times 2$ の行列 $A$ が存在して、$f(\vec{x}) = A\vec{x}$ と表されることである。

(2) $f$ が平面上の一次変換であるとき、$f(\vec{x}) = A\vec{x}$ と表せる。

ここで、$\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ であるから、

$f(\vec{0}) = A\vec{0} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}$

したがって、$f(\vec{0}) = \vec{0}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1)

(1) 平行四辺形（頂点：$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$）

(2) 線分（直線 $y = \frac{3}{2}x$ 上）

(2)

(1) 平面上の変換 $f$ が一次変換であるとは、ある $2 \times 2$ の行列 $A$ が存在して、$f(\vec{x}) = A\vec{x}$ と表されることである。

(2) $f(\vec{0}) = \vec{0}$