与えられた2次関数に関する以下の問題を解きます。 1. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ の頂点の座標、軸の方程式、グラフの概形を求める。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数に関する以下の問題を解きます。

1. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ の頂点の座標、軸の方程式、グラフの概形を求める。

2. $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

3. $h(x) = ax^2 + bx + c$ が頂点 $(1, -2)$ を通り、$h(0) = 3$ を満たすとき、$a, b, c$ の値を求める。

4. $y = (x - 2)(x + 3)$ の頂点の座標と $y$ 軸との交点を求める。

5. $y = x^2$ と $y = 2x + 3$ の交点を求める。

2. 解き方の手順

1. $f(x) = x^2 - 6x + 5$ について

* 平方完成を行う： $f(x) = (x - 3)^2 - 4$

* 頂点の座標は $(3, -4)$

* 軸の方程式は $x = 3$

* グラフは下に凸の放物線で、頂点が$(3, -4)$ となる。

2. $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ について

* 平方完成を行う： $g(x) = -2(x - 1)^2 + 3$

* $g(x)$ は上に凸の放物線なので、最大値は $3$ ($x = 1$ のとき)

3. $h(x) = ax^2 + bx + c$ について

* 頂点が $(1, -2)$ なので、$h(x) = a(x - 1)^2 - 2$ と表せる。

* $h(0) = 3$ より、$a(0 - 1)^2 - 2 = 3$。よって $a = 5$

* $h(x) = 5(x - 1)^2 - 2 = 5x^2 - 10x + 3$ となる。

* したがって、$a = 5$, $b = -10$, $c = 3$

4. $y = (x - 2)(x + 3)$ について

* 展開すると $y = x^2 + x - 6$

* 平方完成すると $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$

* 頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$

* $y$軸との交点は、$x = 0$ のとき $y = (0 - 2)(0 + 3) = -6$。したがって、交点の座標は $(0, -6)$

5. $y = x^2$ と $y = 2x + 3$ について

* 連立方程式を解く： $x^2 = 2x + 3$

* $x^2 - 2x - 3 = 0$

* $(x - 3)(x + 1) = 0$

* $x = 3$ のとき $y = 3^2 = 9$

* $x = -1$ のとき $y = (-1)^2 = 1$

* 交点の座標は $(3, 9)$ と $(-1, 1)$

3. 最終的な答え

1. 頂点の座標: $(3, -4)$、軸の方程式: $x = 3$

2. 最大値: $3$、そのときの $x$ の値: $1$

3. $a = 5$, $b = -10$, $c = 3$

4. 頂点の座標: $(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$、$y$ 軸との交点: $(0, -6)$

5. 交点の座標: $(3, 9)$ と $(-1, 1)$