$a, b$ をパラメータとする連立方程式 $ax - 2y = a$ $x - by = 2$ について、$a \ne 0$ のとき、この連立方程式が解を持たないための $a, b$ の条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ をパラメータとする連立方程式

$ax - 2y = a$

$x - by = 2$

について、$a \ne 0$ のとき、この連立方程式が解を持たないための $a, b$ の条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

連立方程式が解を持たない条件は、係数行列の行列式が0で、かつ拡大係数行列の行列式が0でないことです。

連立方程式を以下のように変形します。

$ax - 2y = a$

$x - by = 2$

係数行列は

$\begin{pmatrix} a & -2 \\ 1 & -b \end{pmatrix}$

係数行列の行列式は、

$a(-b) - (-2)(1) = -ab + 2$

これが0になる条件は、

$-ab + 2 = 0$

$ab = 2$

次に、拡大係数行列を考えます。

$\begin{pmatrix} a & -2 & a \\ 1 & -b & 2 \end{pmatrix}$

この連立方程式が解を持たないためには、以下の条件を満たす必要があります。

$ab=2$

かつ

$\frac{a}{1} = \frac{-2}{-b} \neq \frac{a}{2}$

$ab=2$のとき$\frac{a}{1} = \frac{2}{b} = \frac{-2}{-b}$は成立します。

$\frac{a}{1} \neq \frac{a}{2}$

$a \neq \frac{a}{2}$

$\frac{a}{2} \neq 0$

$a \neq 0$

これは問題文の条件 $a \ne 0$ と一致します。

したがって、解を持たない条件は $ab = 2$ です。

3. 最終的な答え

$ab = 2$