2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ （ただし $p > 0$）がある。$h(x) = g(x) - f(x)$ とする。 1. $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最大にする $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 8$ と1次関数 $g(x) = px$ （ただし $p > 0$）がある。$h(x) = g(x) - f(x)$ とする。

1. $p = 10$ のとき、$h(x)$ を最大にする $x$ の値を求めよ。

2. $h(x)$ を最大にする $x$ の値を $t$ で表すとき、$p$ と $t$ の関係を $t = \boxed{16}p+1$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$h(x)$ を計算する。

$h(x) = g(x) - f(x) = px - (x^2 - 2x + 8) = px - x^2 + 2x - 8 = -x^2 + (p+2)x - 8$

1. $p = 10$ のとき、

$h(x) = -x^2 + (10+2)x - 8 = -x^2 + 12x - 8$

$h(x)$ を平方完成すると、

$h(x) = -(x^2 - 12x) - 8 = -(x^2 - 12x + 36 - 36) - 8 = -(x-6)^2 + 36 - 8 = -(x-6)^2 + 28$

$h(x)$ は $x = 6$ のとき最大値をとる。よって、15に入るのは6である。

2. 一般の $p$ に対して、$h(x) = -x^2 + (p+2)x - 8$

$h(x)$ を平方完成すると、

$h(x) = -(x^2 - (p+2)x) - 8 = -\left(x^2 - (p+2)x + \left(\frac{p+2}{2}\right)^2 - \left(\frac{p+2}{2}\right)^2\right) - 8$

$h(x) = -\left(x - \frac{p+2}{2}\right)^2 + \left(\frac{p+2}{2}\right)^2 - 8$

$h(x)$ は $x = \frac{p+2}{2}$ のとき最大値をとる。

問題文より $x = t$ とすると、$t = \frac{p+2}{2}$

$2t = p+2$

$p = 2t - 2$

問題文の形に合わせると、

$t = \frac{1}{2}p + 1$

したがって16に入る数字は $\frac{1}{2}$ (1/2)である。

3. 最終的な答え

15: 6

16: 1/2