行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。 (1) $|AB|$ (2) $|B^{-1}|$ (3) $|AB^{-1}|$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ と $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。

(1) $|AB|$

(2) $|B^{-1}|$

(3) $|AB^{-1}|$

2. 解き方の手順

(1) $|AB|$ を求めるには、まず $|A|$ と $|B|$ を計算し、その後で $|AB| = |A||B|$ を利用します。

$|A| = (3)(3) - (3)(2) = 9 - 6 = 3$

$|B| = (3)(-3) - (1)(5) = -9 - 5 = -14$

したがって、

$|AB| = |A||B| = (3)(-14) = -42$

(2) $|B^{-1}|$ を求めるには、$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$ を利用します。

$|B| = -14$ (上記参照)

したがって、

$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{-14} = -\frac{1}{14}$

(3) $|AB^{-1}|$ を求めるには、$|AB^{-1}| = \frac{|A|}{|B|}$ を利用します。

$|A| = 3$ (上記参照)

$|B| = -14$ (上記参照)

したがって、

$|AB^{-1}| = \frac{|A|}{|B|} = \frac{3}{-14} = -\frac{3}{14}$

3. 最終的な答え

(1) $|AB| = -42$

(2) $|B^{-1}| = -\frac{1}{14}$

(3) $|AB^{-1}| = -\frac{3}{14}$