与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算せよ。

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$2B + 4C$ と $B + C$ を計算します。

$2B = 2\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

$4C = 4\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix}$

$2B + 4C = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -2 & 10 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$

$B + C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

次に、$A(2B + 4C)$ と $3A(B + C)$ を計算します。

$A(2B + 4C) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 8 & 6 \\ -2 & 10 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -12 \\ 0 & -12 \end{bmatrix}$

$3A(B + C) = 3\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -5 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 3 & -15 \\ 3 & -15 \end{bmatrix}$

最後に、$A(2B + 4C) - 3A(B + C)$ を計算します。

$A(2B + 4C) - 3A(B + C) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -12 \\ 0 & -12 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 9 & 0 \\ 3 & -15 \\ 3 & -15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$