二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、以下の条件における最小値、最大値を求める問題です。 ・$a > 2$ のとき、最小値 ・$a < -2$ のとき、最小値 ・$-2 < a < 2$ のとき、最小値 ・$a > 0$ のとき、最大値

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = 2x^2 + 2ax + 4$ (ただし $-1 \le x \le 1$) について、以下の条件における最小値、最大値を求める問題です。

・$a > 2$ のとき、最小値

・$a < -2$ のとき、最小値

・$-2 < a < 2$ のとき、最小値

・$a > 0$ のとき、最大値

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 + 2ax + 4 = 2(x^2 + ax) + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - 2(\frac{a}{2})^2 + 4 = 2(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} + 4$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。

・$a > 2$ のとき、$x = -\frac{a}{2} < -1$ となります。したがって、区間 $[-1, 1]$ において、関数は単調増加します。最小値は $x = -1$ のときにとります。

$f(-1) = 2(-1)^2 + 2a(-1) + 4 = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$

したがって、17の答えは 6-2a です。

・$a < -2$ のとき、$x = -\frac{a}{2} > 1$ となります。したがって、区間 $[-1, 1]$ において、関数は単調減少します。最小値は $x = 1$ のときにとります。

$f(1) = 2(1)^2 + 2a(1) + 4 = 2 + 2a + 4 = 6 + 2a$

したがって、18の答えは 6+2a です。

・$-2 < a < 2$ のとき、$-1 < -\frac{a}{2} < 1$ となります。つまり、軸が区間 $[-1, 1]$ に含まれます。したがって、最小値は頂点 $x = -\frac{a}{2}$ でとります。

$f(-\frac{a}{2}) = 2(-\frac{a}{2})^2 + 2a(-\frac{a}{2}) + 4 = 2(\frac{a^2}{4}) - a^2 + 4 = \frac{a^2}{2} - a^2 + 4 = -\frac{a^2}{2} + 4 = 4 - \frac{a^2}{2}$

したがって、19の答えは 4 - a^2/2 です。

・$a > 0$ のとき、区間 $[-1, 1]$ における最大値を求めます。

軸は $x = -\frac{a}{2}$ です。

$a > 0$ より $-\frac{a}{2} < 0$ となります。

$a$ が大きいほど軸は $x = -1$ に近づきます。

最大値は $x = 1$ をとるか $x = -1$ をとるか考える必要があります。

$f(-1) = 6 - 2a$

$f(1) = 6 + 2a$

$f(1) > f(-1)$ なので、最大値は $x = 1$ をとります。

$f(1) = 6 + 2a$

したがって、20の答えは 6+2a です。

3. 最終的な答え

17: 6 - 2a

18: 6 + 2a

19: 4 - a^2/2

20: 6 + 2a