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与えられた行列 $A$, $B$, $C$ に対して、$A(2B+4C) - 3A(B+C)$ を計算します。

代数学行列行列演算分配法則
2025/7/20

1. 問題の内容

与えられた行列 AA, BB, CC に対して、A(2B+4C)−3A(B+C)A(2B+4C) - 3A(B+C) を計算します。

2. 解き方の手順

まず、A(2B+4C)−3A(B+C)A(2B+4C) - 3A(B+C) を分配法則を用いて簡略化します。
A(2B+4C)−3A(B+C)=2AB+4AC−3AB−3AC=−AB+AC=A(C−B)A(2B+4C) - 3A(B+C) = 2AB + 4AC - 3AB - 3AC = -AB + AC = A(C-B)
次に、C−BC-B を計算します。
C−B=[1101−10]−[21−131−1]=[1−21−10−(−1)1−3−1−10−(−1)]=[−101−2−21]C-B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & 1-1 \\ 0-(-1) & 1-3 \\ -1-1 & 0-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}
最後に、A(C−B)A(C-B) を計算します。
A(C−B)=[1020−11][−101−2−21]=[(1)(−1)+(0)(1)+(2)(−2)(1)(0)+(0)(−2)+(2)(1)(0)(−1)+(−1)(1)+(1)(−2)(0)(0)+(−1)(−2)+(1)(1)]=[−1+0−40+0+20−1−20+2+1]=[−52−33]A(C-B) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1)+(0)(1)+(2)(-2) & (1)(0)+(0)(-2)+(2)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(1)+(1)(-2) & (0)(0)+(-1)(-2)+(1)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+0-4 & 0+0+2 \\ 0-1-2 & 0+2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

[−52−33]\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}

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