与えられた連立一次方程式を解く問題です。 連立一次方程式は、行列とベクトルを用いて以下のように表現されています。 $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 2 & 1 \\ -2 & 6 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 4 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ -7 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解く問題です。

連立一次方程式は、行列とベクトルを用いて以下のように表現されています。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 \\

-2 & 6 & -1 & 4 \\

-1 & 3 & 4 & 11

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

1 \\

-5 \\

-7

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

拡大係数行列は以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 & | & 1 \\

-2 & 6 & -1 & 4 & | & -5 \\

-1 & 3 & 4 & 11 & | & -7

\end{bmatrix}$

まず、2行目に1行目の2倍を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 3 & 6 & | & -3 \\

-1 & 3 & 4 & 11 & | & -7

\end{bmatrix}$

次に、3行目に1行目を加えます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 3 & 6 & | & -3 \\

0 & 0 & 6 & 12 & | & -6

\end{bmatrix}$

次に、2行目を3で割ります。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & | & -1 \\

0 & 0 & 6 & 12 & | & -6

\end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の6倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 1 & 2 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

次に、1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix}

1 & -3 & 0 & -3 & | & 3 \\

0 & 0 & 1 & 2 & | & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{bmatrix}$

これにより、連立方程式は以下のようになります。

$x_1 - 3x_2 - 3x_4 = 3$

$x_3 + 2x_4 = -1$

したがって、$x_1 = 3x_2 + 3x_4 + 3$ と $x_3 = -2x_4 - 1$ となります。

$x_2$ と $x_4$ は自由変数なので、パラメータ $s, t$ を用いて $x_2 = s$ および $x_4 = t$ と置くと、

$x_1 = 3s + 3t + 3$

$x_3 = -2t - 1$

となります。

3. 最終的な答え

解は以下の通りです。

$\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3 \\

x_4

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

3s + 3t + 3 \\

s \\

-2t - 1 \\

t

\end{bmatrix} =

s\begin{bmatrix}

3 \\

1 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} +

t\begin{bmatrix}

3 \\

0 \\

-2 \\

1

\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}

3 \\

0 \\

-1 \\

0

\end{bmatrix}$

ここで、$s$ と $t$ は任意の実数です。