行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ が正則かどうかを調べ、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ が正則かどうかを調べ、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式を計算して、正則かどうかを判定します。

行列式が0でなければ正則であり、逆行列が存在します。

行列式を計算します。

$det(A) = 2(1\cdot2 - (-1)\cdot(-1)) - 3(1\cdot2 - (-1)\cdot(-1)) + 1(1\cdot(-1) - 1\cdot(-1))$

$det(A) = 2(2 - 1) - 3(2 - 1) + 1(-1 + 1)$

$det(A) = 2(1) - 3(1) + 1(0)$

$det(A) = 2 - 3 + 0 = -1$

行列式 $det(A) = -1 \neq 0$ なので、行列 $A$ は正則です。

次に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)$

ここで、$adj(A)$ は $A$ の余因子行列です。

$A$ の余因子行列の各要素を計算します。

$C_{11} = (1\cdot2 - (-1)\cdot(-1)) = 2 - 1 = 1$

$C_{12} = -(1\cdot2 - (-1)\cdot(-1)) = -(2 - 1) = -1$

$C_{13} = (1\cdot(-1) - 1\cdot(-1)) = -1 + 1 = 0$

$C_{21} = -(3\cdot2 - 1\cdot(-1)) = -(6 + 1) = -7$

$C_{22} = (2\cdot2 - 1\cdot(-1)) = 4 + 1 = 5$

$C_{23} = -(2\cdot(-1) - 3\cdot(-1)) = -(-2 + 3) = -1$

$C_{31} = (3\cdot(-1) - 1\cdot1) = -3 - 1 = -4$

$C_{32} = -(2\cdot(-1) - 1\cdot1) = -(-2 - 1) = 3$

$C_{33} = (2\cdot1 - 3\cdot1) = 2 - 3 = -1$

余因子行列は $C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -7 & 5 & -1 \\ -4 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

$A$ の余因子行列の転置行列（随伴行列）は $adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -7 & -4 \\ -1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -7 & -4 \\ -1 & 5 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 7 & 4 \\ 1 & -5 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$A$ は正則であり、$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 7 & 4 \\ 1 & -5 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$