与えられた2x2行列 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ に対応する一次変換 $f$ について、以下のものを求めます。 (1) 点(1, -1)の $f$ による逆像 (2) 点(-1, 1)の $f$ による像 (3) 直線 $2x + y + 5 = 0$ の $f$ による像 (4) 直線 $x = 0$ の $f$ による像 (5) 直線 $x - y - 2 = 0$ の $f$ による逆像 (6) 直線 $x + y + 3 = 0$ の $f$ による逆像

1. 問題の内容

与えられた2x2行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ に対応する一次変換 $f$ について、以下のものを求めます。

(1) 点(1, -1)の $f$ による逆像

(2) 点(-1, 1)の $f$ による像

(3) 直線 $2x + y + 5 = 0$ の $f$ による像

(4) 直線 $x = 0$ の $f$ による像

(5) 直線 $x - y - 2 = 0$ の $f$ による逆像

(6) 直線 $x + y + 3 = 0$ の $f$ による逆像

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ とします。

(1) 点 (1, -1) の逆像を (x, y) とすると、

$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$x + 2y = 1$

$2x + y = -1$

これを解くと、$x = -1$, $y = 1$

(2) 点 (-1, 1) の像を (x', y') とすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$x' = 1, y' = -1$

(3) 直線 $2x + y + 5 = 0$ の像を求めます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ となります。ここで、$A^{-1}$ を計算します。

$\det A = (1)(1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3$

$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & -1/3 \end{pmatrix}$

$x = -\frac{1}{3}x' + \frac{2}{3}y', \quad y = \frac{2}{3}x' - \frac{1}{3}y'$

これを $2x + y + 5 = 0$ に代入すると、

$2(-\frac{1}{3}x' + \frac{2}{3}y') + (\frac{2}{3}x' - \frac{1}{3}y') + 5 = 0$

$-\frac{2}{3}x' + \frac{4}{3}y' + \frac{2}{3}x' - \frac{1}{3}y' + 5 = 0$

$y' + 5 = 0$

$y' = -5$

(4) 直線 $x = 0$ の像を求めます。$x = -\frac{1}{3}x' + \frac{2}{3}y'$ より

$-\frac{1}{3}x' + \frac{2}{3}y' = 0$

$-x' + 2y' = 0$

$x' = 2y'$

(5) 直線 $x - y - 2 = 0$ の逆像を求めます。

$x' - y' - 2 = 0$ に $x = x', y = y'$ を代入すると、

$(-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y) - (\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y) - 2 = 0$

$-x + y - 2x + y - 6 = 0$

$-3x + 3y - 6 = 0$

$x - y + 2 = 0$

(6) 直線 $x + y + 3 = 0$ の逆像を求めます。

$(-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}y) + (\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y) + 3 = 0$

$-x + 2y + 2x - y + 9 = 0$

$x + y + 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) (-1, 1)

(2) (1, -1)

(3) y = -5

(4) x = 2y

(5) x - y + 2 = 0

(6) x + y + 9 = 0