与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。 (2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在する場合は逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -2 & 3 & -4 \\ 4 & -3 & 8 \\ -4 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めよ。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在するか判定し、存在する場合は逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ の計算

余因子行列 $\tilde{A}$ は、行列 $A$ の各成分に対する余因子を並べた行列の転置です。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-3)(-4) - (8)(3) = 12 - 24 = -12$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = -( (4)(-4) - (8)(-4) ) = -( -16 + 32 ) = -16$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = (4)(3) - (-3)(-4) = 12 - 12 = 0$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -( (3)(-4) - (-4)(3) ) = -( -12 + 12 ) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} = (-2)(-4) - (-4)(-4) = 8 - 16 = -8$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = -( (-2)(3) - (3)(-4) ) = -( -6 + 12 ) = -6$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (-4)(-3) = 24 - 12 = 12$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = -( (-2)(8) - (-4)(4) ) = -( -16 + 16 ) = 0$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = (-2)(-3) - (3)(4) = 6 - 12 = -6$

余因子行列は、これらの余因子を並べた行列の転置です。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の存在判定と計算

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在するための必要十分条件は、行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。

$\det(A) = -2 \begin{vmatrix} -3 & 8 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -4 & -4 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix}$

$= -2(12 - 24) - 3(-16 + 32) - 4(12 - 12)$

$= -2(-12) - 3(16) - 4(0)$

$= 24 - 48 - 0 = -24$

$\det(A) = -24 \neq 0$ なので、逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \tilde{A} = \frac{1}{-24} \begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 \\ 2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ は $\begin{bmatrix} -12 & 0 & 12 \\ -16 & -8 & 0 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$ です。

(2) 逆行列 $A^{-1}$ が存在し、$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 \\ 2/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1/4 & 1/4 \end{bmatrix}$ です。