与えられた2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ に対応する1次変換を $f$ とします。 以下の問題を解きます。 (1) 点 (0, 0) の $f$ による逆像 (2) 点 (1, -1) の $f$ による逆像 (3) 直線 2x + y + 5 = 0 の $f$ による像 (4) 直線 x = 0 の $f$ による像 (5) 直線 x - y - 2 = 0 の $f$ による逆像 (6) 直線 x + y + 3 = 0 の $f$ による逆像

1. 問題の内容

与えられた2x2行列

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

に対応する1次変換を $f$ とします。

以下の問題を解きます。

(1) 点 (0, 0) の $f$ による逆像

(2) 点 (1, -1) の $f$ による逆像

(3) 直線 2x + y + 5 = 0 の $f$ による像

(4) 直線 x = 0 の $f$ による像

(5) 直線 x - y - 2 = 0 の $f$ による逆像

(6) 直線 x + y + 3 = 0 の $f$ による逆像

2. 解き方の手順

まず、点 $(x, y)$ が $f$ によって $(x', y')$ に移るとすると、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - y \\ -x + y \end{pmatrix}$

つまり、$x' = x - y$ かつ $y' = -x + y$ です。

(1) 点 (0, 0) の逆像を求めるには、$x' = 0$ かつ $y' = 0$ となるような $(x, y)$ を見つけます。

$x - y = 0$ かつ $-x + y = 0$ より、$x = y$ です。

したがって、逆像は直線 $x = y$ 上のすべての点です。

(2) 点 (1, -1) の逆像を求めるには、$x - y = 1$ かつ $-x + y = -1$ となるような $(x, y)$ を見つけます。

これも $x - y = 1$ となります。

したがって、逆像は直線 $x - y = 1$ 上のすべての点です。

(3) 直線 2x + y + 5 = 0 の像を求めます。

$x = \frac{x' + y'}{2}$, $y = \frac{x' - y'}{2} \implies x+y=x'$ および $x-y=-y'$

$x = \frac{x' - y'}{2}$ と $y = \frac{-x' - y'}{-2} = \frac{x'+y'}{2}$より、与えられた直線の方程式に代入すると、

$2(\frac{x' - y'}{2}) + (\frac{x' + y'}{2}) + 5 = 0 \implies x' - y' + \frac{x' + y'}{2} + 5 = 0$

$\implies 2x' - 2y' + x' + y' + 10 = 0 \implies 3x' - y' + 10 = 0 \implies y' = 3x' + 10$

したがって、像は直線 $3x - y + 10 = 0$ です。

(4) 直線 x = 0 の像を求めます。

$x' = x - y$ より、$x = x' + y$.

与えられた直線の方程式に代入すると、$x' + y = 0 \implies y = -x'$

したがって、像は直線 $x + y = 0$ です。

(5) 直線 x - y - 2 = 0 の逆像を求めます。

$x' = x - y$ かつ $y' = -x + y$ とすると、 $x' = -y'$ です。

したがって、与えられた直線の方程式は $x - y - 2 = 0$ です。

$x' = x-y$ を満たす必要があります。

したがって、$x - y = 2$. つまり、$x' = 2$ です。これは存在しません。

det(A) = 0なので、逆変換は存在しません。

$x - y = x'$ かつ $-x + y = y'$ とすると、 $x' = -y'$ です。

$x - y = 2$ の任意の点の像は、常に $x' = 2$ です。これは存在しません。

(6) 直線 x + y + 3 = 0 の逆像を求めます。

$x' = x - y$ かつ $y' = -x + y$ とすると、 $x' = x - y$.

したがって、与えられた直線の方程式は $x + y + 3 = 0$ です。

$x + y = -3$ より、$x = -3 - y$.

$x' = (-3 - y) - y = -3 - 2y$

3. 最終的な答え

(1) x = y

(2) x - y = 1

(3) 3x - y + 10 = 0

(4) x + y = 0

(5) 存在しない

(6) 存在しない