与えられた4次正方行列の行列式を計算し、$a$ に関する降べきの順に整理する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & b \\ b & a & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & 3 & b & b \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4次正方行列の行列式を計算し、$a$ に関する降べきの順に整理する問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

a & 0 & 0 & b \\

b & a & 0 & 0 \\

0 & b & a & 0 \\

0 & 3 & b & b

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。

第1列で余因子展開を行うと、

$$

\begin{vmatrix}

a & 0 & 0 & b \\

b & a & 0 & 0 \\

0 & b & a & 0 \\

0 & 3 & b & b

\end{vmatrix}

= a \begin{vmatrix}

a & 0 & 0 \\

b & a & 0 \\

3 & b & b

\end{vmatrix} - b \begin{vmatrix}

0 & 0 & b \\

b & a & 0 \\

3 & b & b

\end{vmatrix}

$$

次にそれぞれの3次行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

a & 0 & 0 \\

b & a & 0 \\

3 & b & b

\end{vmatrix}

= a \begin{vmatrix}

a & 0 \\

b & b

\end{vmatrix}

= a(ab - 0) = a^2b

$$

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & b \\

b & a & 0 \\

3 & b & b

\end{vmatrix}

= b \begin{vmatrix}

b & a \\

3 & b

\end{vmatrix} = b(b^2 - 3a) = b^3 - 3ab

$$

したがって、与えられた4次行列式の値は、

$$

a(a^2b) - b(b^3 - 3ab) = a^3b - b^4 + 3ab^2

$$

3. 最終的な答え

$a^3b + 3ab^2 - b^4$