与えられた行列 $A$ に対して、正則行列 $P$ を求め、$P^{-1}AP$ が対角行列となるようにする。行列 $A$ は $ A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ で与えられる。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、正則行列 $P$ を求め、$P^{-1}AP$ が対角行列となるようにする。行列 $A$ は

$$

A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}

$$

で与えられる。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める:

まず、行列 $A$ の固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。ここで $I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表す。

$$

\begin{vmatrix} -5-\lambda & 6 & 4 \\ -7 & 8-\lambda & 4 \\ -2 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = 0

$$

行列式を計算すると：

$$

(-5-\lambda)((8-\lambda)(3-\lambda) - 8) - 6(-7(3-\lambda) + 8) + 4(-14 + 2(8-\lambda)) = 0

$$

$$

(-5-\lambda)(\lambda^2 - 11\lambda + 16) - 6(-13+7\lambda) + 4(2-2\lambda) = 0

$$

$$

-\lambda^3 + 6\lambda^2 + 21\lambda -30 + 78 -42\lambda + 8 - 8\lambda = 0

$$

$$

-\lambda^3 + 6\lambda^2 -29\lambda + 56 = 0

$$

$$

(\lambda - 2)(-\lambda^2 + 4\lambda - 28) = 0

$$

$(\lambda - 2)(\lambda-4)(\lambda-7) = 0$

よって固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4, \lambda_3 = 7$ である。

(2) 固有ベクトルを求める:

各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 2$ のとき:

$(A - 2I)v_1 = 0$ を解く。

$$

\begin{pmatrix} -7 & 6 & 4 \\ -7 & 6 & 4 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$$

$-2x + 2y + z = 0$ より $z = 2x - 2y$.

$-7x + 6y + 4(2x-2y) = 0$

$x - 2y = 0$ より $x = 2y$

$z = 4y - 2y = 2y$.

よって固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

$\lambda_2 = 4$ のとき:

$(A - 4I)v_2 = 0$ を解く。

$$

\begin{pmatrix} -9 & 6 & 4 \\ -7 & 4 & 4 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$$

$-2x + 2y - z = 0$ より $z = -2x + 2y$.

$-9x + 6y + 4(-2x + 2y) = 0$

$-17x + 14y = 0$

$y = \frac{17}{14} x$.

$z = -2x + \frac{17}{7} x = \frac{3}{7}x$

$v_2 = \begin{pmatrix} 14 \\ 17 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 7$ のとき:

$(A - 7I)v_3 = 0$ を解く。

$$

\begin{pmatrix} -12 & 6 & 4 \\ -7 & 1 & 4 \\ -2 & 2 & -4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

$$

$-x + y - 2z = 0$ より $x = y - 2z$

$-7(y-2z) + y + 4z = 0$

$-6y + 18z = 0$ より $y = 3z$.

$x = 3z - 2z = z$.

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 正則行列 $P$ を構成する:

固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列が $P$ である。

$$

P = \begin{pmatrix} 2 & 14 & 1 \\ 1 & 17 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

正則行列 $P$ は

$$

P = \begin{pmatrix} 2 & 14 & 1 \\ 1 & 17 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}

$$

であり、$P^{-1}AP$ は対角行列

$$

\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}

$$

となる。