次の数列の和を$\Sigma$を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

1. 問題の内容

次の数列の和を$\Sigma$を用いずに、各項を書き並べて表す問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ は、$k$ に $1$ から $n$ までの整数を代入して、それらを足し合わせます。

$2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \dots + 2 \cdot 3^n$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ は、$k$ に $2$ から $5$ までの整数を代入して、それらを足し合わせます。

$(2^3 - 8) + (3^3 - 8) + (4^3 - 8) + (5^3 - 8)$

$2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

$3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$

$4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$

$5^3 - 8 = 125 - 8 = 117$

したがって、

$(2^3 - 8) + (3^3 - 8) + (4^3 - 8) + (5^3 - 8) = 0 + 19 + 56 + 117$

3. 最終的な答え

(1) $2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \dots + 2 \cdot 3^n$

(2) $0 + 19 + 56 + 117$