座標平面上の点 $(p, q)$ が $p^2 + q^2 \le 8$, $p \ge 0$, $q \ge 0$ で表される領域を動くとき、点 $(p+q, pq)$ の動く領域を図示せよ。

1. 問題の内容

座標平面上の点 $(p, q)$ が $p^2 + q^2 \le 8$, $p \ge 0$, $q \ge 0$ で表される領域を動くとき、点 $(p+q, pq)$ の動く領域を図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、 $x = p+q$, $y = pq$ とおく。$p$ と $q$ は $t$ に関する2次方程式 $t^2 - xt + y = 0$ の解である。

$p$ と $q$ は実数であるから、判別式 $D = x^2 - 4y \ge 0$ を満たす必要がある。つまり、

$x^2 - 4y \ge 0$

$y \le \frac{1}{4}x^2$

次に、 $p$ と $q$ が $p^2+q^2 \le 8$ を満たす条件を考える。

$p^2+q^2 = (p+q)^2 - 2pq = x^2 - 2y \le 8$

$x^2 - 2y \le 8$

$2y \ge x^2 - 8$

$y \ge \frac{1}{2}x^2 - 4$

さらに、$p \ge 0$, $q \ge 0$ より、$x = p+q \ge 0$, $y = pq \ge 0$ である。

また、$p^2+q^2 \le 8$, $p \ge 0$, $q \ge 0$ より、 $p \le \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $q \le 2\sqrt{2}$ であるから、

$x = p+q \le 4\sqrt{2}$

また、$y = pq$ の最大値は、$p=q=2$ のとき $y = 4$ である。

まとめると、

$y \le \frac{1}{4}x^2$

$y \ge \frac{1}{2}x^2 - 4$

$x \ge 0$

$y \ge 0$

$x \le 4\sqrt{2}$

$p=0$ のとき $q \le \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ であり、$x=q, y=0$ となる。

$q=0$ のとき $p \le \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ であり、$x=p, y=0$ となる。

$p = \sqrt{8}\cos\theta, q = \sqrt{8}\sin\theta$ とおくと、$x = \sqrt{8}(\cos\theta+\sin\theta)$, $y = 8\cos\theta\sin\theta = 4\sin(2\theta)$となる。

$\cos\theta+\sin\theta = \sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}$ であるから、

$\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \le 1$

したがって、$1 \le \sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta) \le 2$ なので、

$x = \sqrt{8}(\cos\theta+\sin\theta) \in [2, 4]$

$0 \le y \le 4$

よって、領域は $x \ge 0$, $y \ge 0$, $y \le \frac{x^2}{4}$ と $y \ge \frac{x^2}{2} - 4$ で囲まれた部分である。

3. 最終的な答え

領域は以下の不等式で表される領域である。

$x \ge 0$

$y \ge 0$

$y \le \frac{1}{4}x^2$

$y \ge \frac{1}{2}x^2 - 4$