与えられた2次関数の最大値、最小値を、指定された範囲で求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x$ ($-2 < x < 1$) (2) $y = -2x^2 + 3x + 1$ ($0 < x \le 2$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数の最大値、最小値を、指定された範囲で求める問題です。

(1) $y = x^2 + 2x$ ($-2 < x < 1$)

(2) $y = -2x^2 + 3x + 1$ ($0 < x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 + 2x$ を平方完成します。

$y = (x+1)^2 - 1$

この関数は下に凸な放物線であり、頂点は $(-1, -1)$ です。

定義域は $-2 < x < 1$ です。

$x = -1$ は定義域に含まれているので、$x = -1$ のとき最小値 $-1$ をとります。

$x = 1$ に近づくとき、$y$ の値は $(1+1)^2 - 1 = 3$ に近づきますが、定義域に $x = 1$ は含まれないので、最大値は存在しません。

$x = -2$に近づくとき、$y$ の値は $(-2+1)^2 - 1 = 0$ に近づきます。

(2)

まず、$y = -2x^2 + 3x + 1$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{17}{8}$

この関数は上に凸な放物線であり、頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ です。

定義域は $0 < x \le 2$ です。

$x = \frac{3}{4}$ は定義域に含まれているので、$x = \frac{3}{4}$ のとき最大値 $\frac{17}{8}$ をとります。

$x = 2$ は定義域に含まれているので、$x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 + 3(2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$ となります。これは最小値です。

$x = 0$ に近づくとき、$y$ の値は $-2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1$ に近づきますが、定義域に $x = 0$ は含まれないので、最小値は $-1$。

3. 最終的な答え

(1)

最小値: $-1$ ($x = -1$のとき)

最大値: なし

(2)

最大値: $\frac{17}{8}$ ($x = \frac{3}{4}$のとき)

最小値: $-1$ ($x = 2$のとき)