$k$ を定数とする2次方程式 $x^2 - kx + k - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ をそれぞれ $k$ を用いて表せ。 (2) $\alpha^2 + \beta^2$ を $k$ を用いて表せ。 (3) $\alpha > 0, \beta > 0$ となる $k$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする2次方程式 $x^2 - kx + k - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ をそれぞれ $k$ を用いて表せ。

(2) $\alpha^2 + \beta^2$ を $k$ を用いて表せ。

(3) $\alpha > 0, \beta > 0$ となる $k$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = k$$

$$\alpha \beta = k - 2$$

(2) $\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)^2$ と $\alpha \beta$ を用いて表すと、

$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$

(1)の結果を代入すると、

$$\alpha^2 + \beta^2 = k^2 - 2(k-2) = k^2 - 2k + 4$$

(3) $\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ となる $k$ の範囲を求める。

$\alpha > 0$ かつ $\beta > 0$ であるためには、以下の条件が必要となる。

i) $\alpha + \beta > 0$

ii) $\alpha \beta > 0$

iii) 判別式 $D \ge 0$

i) $\alpha + \beta = k > 0$

ii) $\alpha \beta = k - 2 > 0$ より $k > 2$

iii) $D = (-k)^2 - 4(k-2) = k^2 - 4k + 8 = (k-2)^2 + 4 \ge 0$ なので、常に成立。

i)とii)より、$k > 2$。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = k$, $\alpha \beta = k - 2$

(2) $\alpha^2 + \beta^2 = k^2 - 2k + 4$

(3) $k > 2$