以下の2つの問題を解きます。 (1) $(3a+2b-3c)^2$ を展開せよ。 (2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

以下の2つの問題を解きます。

(1) $(3a+2b-3c)^2$ を展開せよ。

(2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

(1) $(3a+2b-3c)^2$ の展開

まず、$(3a+2b-3c)^2$ を $(3a+2b-3c)(3a+2b-3c)$ と書き換えます。

次に、各項を展開します。

$(3a+2b-3c)(3a+2b-3c) = (3a)(3a) + (3a)(2b) + (3a)(-3c) + (2b)(3a) + (2b)(2b) + (2b)(-3c) + (-3c)(3a) + (-3c)(2b) + (-3c)(-3c)$

$= 9a^2 + 6ab - 9ac + 6ab + 4b^2 - 6bc - 9ac - 6bc + 9c^2$

$= 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 18ac - 12bc$

(2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2)$ の展開

この式は、$(A+B)(A-B)$ の形とみなせます。ここで、$A = a^2 - b^2$、$B = ab$ と置くと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ となります。

$A^2 = (a^2 - b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

$B^2 = (ab)^2 = a^2b^2$

よって、

$(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2) = (a^2 - b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 - 3a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

(1) $(3a+2b-3c)^2 = 9a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 12ab - 18ac - 12bc$

(2) $(a^2 + ab - b^2)(a^2 - ab - b^2) = a^4 - 3a^2b^2 + b^4$