(1) 絶対値を含む方程式 $|x-2|=5$ の解と、絶対値を含む不等式 $|x-2|<5$ の解を求めます。 (2) $- \sqrt{3} + \sqrt{27} + 2\sqrt{12}$ を計算し、$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化します。 (3) 15以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合で、3の倍数全体の集合を $A$、5の倍数全体の集合を $B$ とします。集合 $A$, $A \cup B$, $A \cap B$ の要素を書き並べて表します。

1. 問題の内容

(1) 絶対値を含む方程式 $|x-2|=5$ の解と、絶対値を含む不等式 $|x-2|<5$ の解を求めます。

(2) $- \sqrt{3} + \sqrt{27} + 2\sqrt{12}$ を計算し、$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

(3) 15以下の自然数全体の集合を $U$ とし、$U$ の部分集合で、3の倍数全体の集合を $A$、5の倍数全体の集合を $B$ とします。集合 $A$, $A \cup B$, $A \cap B$ の要素を書き並べて表します。

2. 解き方の手順

(1)

方程式 $|x-2| = 5$ の解は、$x-2 = 5$ または $x-2 = -5$ を解くことで求められます。

$x-2 = 5$ より $x = 7$

$x-2 = -5$ より $x = -3$

不等式 $|x-2| < 5$ の解は $-5 < x-2 < 5$ を解くことで求められます。

各辺に2を加えると、$-5+2 < x < 5+2$

よって、$-3 < x < 7$

(2)

$- \sqrt{3} + \sqrt{27} + 2\sqrt{12} = - \sqrt{3} + \sqrt{3^2 \cdot 3} + 2\sqrt{2^2 \cdot 3} = - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3} = -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5}$

(3)

15以下の自然数全体の集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$

3の倍数全体の集合 $A = \{3, 6, 9, 12, 15\}$

5の倍数全体の集合 $B = \{5, 10, 15\}$

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の要素をすべて含んだ集合です。

$A \cup B = \{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15\}$

$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分です。

$A \cap B = \{15\}$

3. 最終的な答え

(1) 方程式 $|x-2| = 5$ の解は $x = 7, -3$ であり、不等式 $|x-2| < 5$ の解は $-3 < x < 7$ である。

(2) $- \sqrt{3} + \sqrt{27} + 2\sqrt{12}$ を計算すると $6\sqrt{3}$ であり、$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化すると $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ である。

(3)

$A = \{3, 6, 9, 12, 15\}$

$A \cup B = \{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15\}$

$A \cap B = \{15\}$

となる。