与えられた等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

恒等式の性質を利用して、$a, b, c$ の値を決定します。恒等式とは、$x$ にどんな値を代入しても成り立つ等式のことです。

まず、右辺を展開します。

$a(x+1)^2 - b(x-2) + c = a(x^2 + 2x + 1) - bx + 2b + c = ax^2 + 2ax + a - bx + 2b + c = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

したがって、$2x^2 + 3x + 7 = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$ となります。

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、両辺の各次数の係数が一致する必要があります。つまり、

$x^2$ の係数について: $a = 2$

$x$ の係数について: $2a - b = 3$

定数項について: $a + 2b + c = 7$

まず、$a = 2$ が得られました。これを $2a - b = 3$ に代入すると、$2(2) - b = 3$、つまり $4 - b = 3$ となり、$b = 1$ が得られます。

次に、$a = 2$ と $b = 1$ を $a + 2b + c = 7$ に代入すると、$2 + 2(1) + c = 7$、つまり $4 + c = 7$ となり、$c = 3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 1$

$c = 3$