与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、式を整理し、因数分解しやすい形にします。ここでは、$a$について整理してみます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$が共通因数なので、くくり出します。

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

次に、$a^2 + a(b+c) + bc$を因数分解します。

$a^2 + a(b+c) + bc = a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a^2 + a(b+c) + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

よって、$a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$