実数 $t$ に対して、$F(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (tx - \cos x)^2 dx$ は $t$ の2次関数である。$F(t)$ の $t^2$ の係数と $t$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $t$ に対して、$F(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (tx - \cos x)^2 dx$ は $t$ の2次関数である。$F(t)$ の $t^2$ の係数と $t$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(t)$ を展開して計算する。

$F(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (t^2x^2 - 2tx\cos x + \cos^2 x) dx = t^2\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx - 2t\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

それぞれの積分を計算する。

(1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3} \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 = \frac{\pi^3}{24}$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$ については、部分積分を行う。

$u = x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx = [x\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = \left(\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2} - 0\sin 0\right) - [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - (-\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0) = \frac{\pi}{2} - (0+1) = \frac{\pi}{2} - 1$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\sin \pi}{4}\right) - (0+0) = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$F(t) = t^2\left(\frac{\pi^3}{24}\right) - 2t\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi^3}{24}t^2 - (\pi - 2)t + \frac{\pi}{4}$

$t^2$ の係数は $\frac{\pi^3}{24}$

$t$ の係数は $-(\pi - 2) = 2 - \pi$

3. 最終的な答え

$t^2$ の係数は $\frac{\pi^3}{24}$

$t$ の係数は $2 - \pi$