与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$を$\frac{\sin x \cos x}{\cos x}$と書き換えます。

$\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x} = \int \frac{dx}{\frac{\sin x \cos x}{\cos x} \cos^2 x} = \int \frac{\cos x}{\sin x \cos x \cos^2 x}dx = \int \frac{\cos x}{\sin x \cos^3 x}dx$

次に、$\int \frac{1}{\sin x \cos^2 x} dx = \int \frac{1}{\sin x \cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\cos x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x \cos^3 x} dx$

$\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x} = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos^2 x} dx$

$= \int \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos^2 x} dx + \int \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos^2 x} dx$

$= \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin x} dx$

$= \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx + \int \csc x dx$

ここで、$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{u^2} du = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$

また、$\int \csc x dx = \ln |\csc x - \cot x| + C$

したがって、

$\int \frac{dx}{\sin x \cos^2 x} = \sec x + \ln |\csc x - \cot x| + C$

3. 最終的な答え

$\sec x + \ln |\csc x - \cot x| + C$