$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin{x} - \sqrt{3} \cos{x}$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$R\sin(x + \alpha)$ の形にしたいので、

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

とおきます。

すると、

$y = 2\left(\frac{1}{2} \sin{x} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos{x}\right)$

となります。

$\cos{\alpha} = \frac{1}{2}$、$\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le x - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ です。

したがって、$x - \frac{\pi}{3}$ が $\frac{\pi}{2}$ のときに $y$ は最大値 $2 \cdot 1 = 2$ をとり、$x - \frac{\pi}{3}$ が $\frac{3\pi}{2}$ のときに $y$ は最小値 $2 \cdot (-1) = -2$ をとります。

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

最大値：2 ($x = \frac{5\pi}{6}$ のとき)

最小値：-2 ($x = \frac{11\pi}{6}$ のとき)