関数 $y = x^2 + 4$ のグラフに原点Oから引いた2本の接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + 4$ のグラフに原点Oから引いた2本の接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を$(t, t^2 + 4)$とおきます。

この点における接線の方程式は、微分を用いて求めます。

$y' = 2x$

接点$(t, t^2 + 4)$における接線の傾きは$2t$なので、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + 4) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 4$

$y = 2tx - t^2 + 4$

この接線が原点(0, 0)を通るので、上記の式に $x = 0, y = 0$ を代入します。

$0 = 2t(0) - t^2 + 4$

$0 = -t^2 + 4$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

したがって、接点は$(2, 8)$と$(-2, 8)$の2点です。

$t = 2$のとき、接線の方程式は $y = 2(2)x - (2)^2 + 4 = 4x$

$t = -2$のとき、接線の方程式は $y = 2(-2)x - (-2)^2 + 4 = -4x$

3. 最終的な答え

2本の接線の方程式は、

$y = 4x$

$y = -4x$