底面の直径と高さの和が24 cmである直円柱の体積を $V \text{ cm}^3$ とする。 (1) 底面の半径を $x \text{ cm}$ とするとき、$V$ を $x$ の式で表す。 (2) $V$ が最大となるのは、円柱の高さが何 cm のときかを求める。

1. 問題の内容

底面の直径と高さの和が24 cmである直円柱の体積を $V \text{ cm}^3$ とする。

(1) 底面の半径を $x \text{ cm}$ とするとき、$V$ を $x$ の式で表す。

(2) $V$ が最大となるのは、円柱の高さが何 cm のときかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

底面の半径が $x$ cmなので、直径は $2x$ cmである。高さは直径と高さの和が24 cmなので、$24 - 2x$ cmとなる。

直円柱の体積 $V$ は、底面積 $\times$ 高さで求められる。底面積は $\pi x^2$ であり、高さは $24 - 2x$ なので、

$V = \pi x^2 (24 - 2x)$

$V = 2\pi x^2 (12 - x)$

(2)

$V$ が最大になる時の円柱の高さを求める。

$V = 2\pi x^2 (12 - x) = 2\pi (12x^2 - x^3)$

$V$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dV}{dx} = 2\pi (24x - 3x^2)$

$V$ が最大になるのは $\frac{dV}{dx} = 0$ のときなので、

$2\pi (24x - 3x^2) = 0$

$24x - 3x^2 = 0$

$3x(8 - x) = 0$

$x = 0, 8$

$x = 0$ は半径が0になるので不適。よって、$x = 8$。

このとき、高さは $24 - 2x = 24 - 2(8) = 24 - 16 = 8$ cm

3. 最終的な答え

(1) $V = 2\pi x^2 (12 - x)$

(2) 8 cm