水平面上に置かれたばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の小物体を押し付けて、自然長から $a$ だけ縮めた後、手を離す。小物体は半径 $R$ の円弧状の曲面を滑り降り、点A（角度$\theta$）を通過後、点B（角度$\theta_B$）で曲面から離れる。重力加速度の大きさを $g$ として、以下の問いに答えよ。 (1) ばねから離れた直後の小物体の速さを求めよ。 (2) 点Aにおける小物体の速さを求めよ。 (3) 点Aで、小物体が面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。 (4) $\cos \theta_B$ を求めよ。 (5) 点Bで曲面を飛び出すときの、小物体の運動エネルギーを求めよ。

1. 問題の内容

水平面上に置かれたばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の小物体を押し付けて、自然長から $a$ だけ縮めた後、手を離す。小物体は半径 $R$ の円弧状の曲面を滑り降り、点A（角度$\theta$）を通過後、点B（角度$\theta_B$）で曲面から離れる。重力加速度の大きさを $g$ として、以下の問いに答えよ。

(1) ばねから離れた直後の小物体の速さを求めよ。

(2) 点Aにおける小物体の速さを求めよ。

(3) 点Aで、小物体が面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。

(4) $\cos \theta_B$ を求めよ。

(5) 点Bで曲面を飛び出すときの、小物体の運動エネルギーを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ばねから離れた直後の速さ

ばねの弾性エネルギーが運動エネルギーに変わるので、

$\frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv^2$

より、$v = \sqrt{\frac{ka^2}{m}} = a\sqrt{\frac{k}{m}}$

(2) 点Aにおける速さ

力学的エネルギー保存則を用いる。

基準点を円弧の中心の高さとする。

ばねから離れた直後の力学的エネルギーは $E = \frac{1}{2}ka^2$ である。

点Aにおける力学的エネルギーは $E = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR\cos\theta$ である。

よって、$\frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + mgR\cos\theta$

$\frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}ka^2 - mgR\cos\theta$

$v_A^2 = \frac{ka^2}{m} - 2gR\cos\theta$

$v_A = \sqrt{\frac{ka^2}{m} - 2gR\cos\theta}$

(3) 点Aにおける垂直抗力

点Aにおいて、小物体には重力、垂直抗力が働く。

円運動の運動方程式を立てると、

$m\frac{v_A^2}{R} = N - mg\cos\theta$

$N = m\frac{v_A^2}{R} + mg\cos\theta$

$v_A^2 = \frac{ka^2}{m} - 2gR\cos\theta$ より、

$N = m\frac{\frac{ka^2}{m} - 2gR\cos\theta}{R} + mg\cos\theta$

$N = \frac{ka^2}{R} - 2mg\cos\theta + mg\cos\theta$

$N = \frac{ka^2}{R} - mg\cos\theta$

(4) $\cos\theta_B$

点Bで小物体が曲面から離れるとき、垂直抗力は0になる。

点Bにおける速さを $v_B$ とすると、円運動の運動方程式は、

$m\frac{v_B^2}{R} = mg\cos\theta_B$

力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv_B^2 + mgR\cos\theta_B$

$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}ka^2 - mgR\cos\theta_B$

$mv_B^2 = ka^2 - 2mgR\cos\theta_B$

これを$m\frac{v_B^2}{R} = mg\cos\theta_B$ に代入すると、

$m\frac{ka^2 - 2mgR\cos\theta_B}{mR} = mg\cos\theta_B$

$\frac{ka^2}{R} - 2mg\cos\theta_B = mg\cos\theta_B$

$\frac{ka^2}{R} = 3mg\cos\theta_B$

$\cos\theta_B = \frac{ka^2}{3mgR}$

(5) 点Bでの運動エネルギー

$\frac{1}{2}mv_B^2$を求める。

$m\frac{v_B^2}{R} = mg\cos\theta_B$ より、

$mv_B^2 = mgR\cos\theta_B = mgR\frac{ka^2}{3mgR} = \frac{ka^2}{3}$

よって、$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{ka^2}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a\sqrt{\frac{k}{m}}$

(2) $\sqrt{\frac{ka^2}{m} - 2gR\cos\theta}$

(3) $\frac{ka^2}{R} - mg\cos\theta$

(4) $\frac{ka^2}{3mgR}$

(5) $\frac{ka^2}{6}$