Q地域で収穫されるレモンの母平均 $m$ を推定するために、信頼度95%の信頼区間の幅を4g以下にするために必要な標本の大きさを求める問題です。母標準偏差 $\sigma$ は過去のデータから20gとします。

1. 問題の内容

Q地域で収穫されるレモンの母平均 $m$ を推定するために、信頼度95%の信頼区間の幅を4g以下にするために必要な標本の大きさを求める問題です。母標準偏差 $\sigma$ は過去のデータから20gとします。

2. 解き方の手順

まず、標本平均 $\bar{W}$ が近似的に従う正規分布を求めます。標本平均 $\bar{W}$ は、母平均 $m$、分散 $\frac{\sigma^2}{n}$ の正規分布 $N(m, \frac{\sigma^2}{n})$ に従います。よって、「力」には $\frac{\sigma^2}{n}$ が入ります。

次に、母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間を $A \le m \le B$ と表したとき、信頼区間の幅 $B-A$ を求めます。信頼区間の幅は、2 × 1.96 × (標本標準偏差)で求められます。標本標準偏差は $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ です。したがって、

$B - A = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3.92\sigma}{\sqrt{n}}$ となります。

$\sigma=20$を代入すると、

$B - A = \frac{3.92 \times 20}{\sqrt{n}} = \frac{78.4}{\sqrt{n}}$

よって、「キ」には $\frac{78.4}{\sqrt{n}}$ が入ります。

問題文より、信頼区間の幅を4g以下にする必要があるため、以下の不等式が成り立ちます。

$\frac{78.4}{\sqrt{n}} \le 4$

この不等式を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。

不等式の両辺は正なので、両辺を2乗すると、

$(\frac{78.4}{\sqrt{n}})^2 \le 16$

$\frac{78.4^2}{n} \le 16$

$n \ge \frac{78.4^2}{16} = \frac{6146.56}{16} = 384.16$

この不等式を満たす最小の自然数 $n_0$ は385です。

3. 最終的な答え

力: $\frac{\sigma^2}{n}$

キ: $\frac{78.4}{\sqrt{n}}$

クケコ: 385