78. (1) $\cos 135^\circ \times \sin 120^\circ \times \tan 150^\circ \div \cos 60^\circ$ の値を求める。 (2) $\sin 80^\circ + \cos 110^\circ + \sin 160^\circ + \cos 170^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

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8. (1) $\cos 135^\circ \times \sin 120^\circ \times \tan 150^\circ \div \cos 60^\circ$ の値を求める。

(2) $\sin 80^\circ + \cos 110^\circ + \sin 160^\circ + \cos 170^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 各三角関数の値を求める。

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

これらの値を代入する。

$$\cos 135^\circ \times \sin 120^\circ \times \tan 150^\circ \div \cos 60^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (-\frac{\sqrt{3}}{3}) \div \frac{1}{2}$$

$$= -\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times (-\frac{\sqrt{3}}{3}) \times 2$$

$$= \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times 2}{2 \times 2 \times 3} = \frac{\sqrt{2} \times 3 \times 2}{12} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

(2)

$\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$

$\cos 170^\circ = \cos(180^\circ - 10^\circ) = -\cos 10^\circ$

$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$

与えられた式に代入すると、

$\sin 80^\circ + \cos 110^\circ + \sin 160^\circ + \cos 170^\circ = \cos 10^\circ - \sin 20^\circ + \sin 20^\circ - \cos 10^\circ = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $0$