与えられた3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 4$ に対して、その導関数 $f'(x)$ を求め、関数 $f(x)$ を $f'(x)$ を用いて変形し、さらに $f(x)$ の極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 4$ に対して、その導関数 $f'(x)$ を求め、関数 $f(x)$ を $f'(x)$ を用いて変形し、さらに $f(x)$ の極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 3x + 4) = 3x^2 - 6x - 3 = 3(x^2 - 2x - 1)$.

したがって、最初の空欄は3になります。

次に、与えられた $f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x-4) -5x+6$ の形に変形することを考えます。

まず、$f'(x) = 3x^2-6x-3$を代入します。

$f(x) = \frac{1}{3}(3x^2-6x-3)(x-4)-5x+6 = (x^2-2x-1)(x-4)-5x+6 = x^3 -4x^2 -2x^2 + 8x - x + 4 -5x + 6 = x^3 -6x^2 + 2x + 10$.

これは元の式と合いません。

$f(x) = \frac{1}{A}f'(x)(x-B) - Cx+D$の形だとすると、$f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 4$であることから、$A = 3, B = 1, C = 0, D=5$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 3 = 3(x^2 - 2x - 1)$なので、

$f(x) = \frac{1}{3}(3x^2-6x-3)(x+1) -5$

$f(x) = (x^2-2x-1)(x+1) + 5$

$f(x) = x^3 + x^2 - 2x^2 - 2x - x - 1 + 5$

$f(x) = x^3 - x^2 -3x + 4$となり一致しない

$f(x) = x^3-3x^2-3x+4$

$f'(x) = 3x^2-6x-3$

$f'(x) = 3(x^2-2x-1)$

$f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x-a)+bx+c$

$f(x) = (x^2-2x-1)(x-a)+bx+c = x^3 - ax^2-2x^2 +2ax -x +ax +bx+c = x^3-(2+a)x^2 + (3a+b-1)x +c$.

$3a+b-1 = -3, -(2+a) = -3, c=4$.

$a = 1, -3+b-1 = -3$なので、$b = 1$.

よって、$f(x) = \frac{1}{3}f'(x)(x+1)+x+4$.

これにより、$f(x) = \frac{1}{1}f'(x)(x-4)-5x+6$が$\frac{1}{3}f'(x)(x-1)+x+4$であることがわかる。

$f'(x) = 0$となる $x$ は $x^2 - 2x - 1 = 0$ より、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

$f'(x) = 3(x - (1+\sqrt{2}))(x-(1-\sqrt{2}))$.

$x = 1-\sqrt{2}$のとき極大となる。

$f(1-\sqrt{2}) = \frac{1}{3}f'(1-\sqrt{2})(1-\sqrt{2}-4)-5(1-\sqrt{2})+6 = (1-\sqrt{2})+4 = 5-\sqrt{2}$.

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 4$

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 3$

$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 1) = 0$ より、$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x = 1 - \sqrt{2}$のとき極大値をとる。

$x = 1 - \sqrt{2}$のとき

$f(1-\sqrt{2}) = (1-\sqrt{2})^3 - 3(1-\sqrt{2})^2 - 3(1-\sqrt{2})+4$

$= (1-3\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}) - 3(1-2\sqrt{2}+2)-3+3\sqrt{2}+4$

$= 7-5\sqrt{2} -3(3-2\sqrt{2}) -3 +3\sqrt{2} + 4$

$= 7-5\sqrt{2}-9+6\sqrt{2} -3+3\sqrt{2}+4 = -1+4\sqrt{2}$

$= -1+4\sqrt{2}$

極大値は $-1 + 4 \sqrt{2}$なので、7は4, 8は2です。

3. 最終的な答え

1: 3

2: -2

3: -1

4: 1

5: 1

6: 4

7: 4

8: 2