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$\frac{d}{dx} \{ \cos^3 x \}$ を計算する問題です。つまり、$\cos^3 x$ の $x$ に関する微分を求める問題です。

解析学微分三角関数連鎖律
2025/8/6

1. 問題の内容

ddx{cos⁡3x}\frac{d}{dx} \{ \cos^3 x \} を計算する問題です。つまり、cos⁡3x\cos^3 x の xx に関する微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

cos⁡3x\cos^3 x は (cos⁡x)3(\cos x)^3 と書けます。したがって、この関数を微分するには連鎖律（chain rule）を用いる必要があります。連鎖律は、f(g(x))f(g(x)) の微分が ddxf(g(x))=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) で与えられるというものです。
この問題では、f(u)=u3f(u) = u^3 および g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x と考えます。
まず、f(u)=u3f(u) = u^3 の微分は f′(u)=3u2f'(u) = 3u^2 です。
次に、g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x の微分は g′(x)=−sin⁡xg'(x) = -\sin x です。
したがって、連鎖律を用いると、
ddx(cos⁡3x)=3(cos⁡x)2⋅(−sin⁡x)=−3cos⁡2xsin⁡x\frac{d}{dx} (\cos^3 x) = 3(\cos x)^2 \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x となります。

3. 最終的な答え

−3cos⁡2xsin⁡x-3 \cos^2 x \sin x

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