与えられた関数 $x \cos x - \sin x$ の、$x$ に関する微分を求めよ。つまり、 $\frac{d}{dx} (x \cos x - \sin x)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $x \cos x - \sin x$ の、$x$ に関する微分を求めよ。つまり、

$\frac{d}{dx} (x \cos x - \sin x)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、微分の線形性より、各項を別々に微分できます。

$\frac{d}{dx} (x \cos x - \sin x) = \frac{d}{dx} (x \cos x) - \frac{d}{dx} (\sin x)$

次に、$x \cos x$ の微分を計算します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$\frac{d}{dx} (x \cos x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \cos x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x$

また、$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$ であることを知っています。

したがって、

$\frac{d}{dx} (x \cos x - \sin x) = (\cos x - x \sin x) - \cos x = -x \sin x$

3. 最終的な答え

$-x \sin x$