関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ とする。 (1) $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求めよ。 (2) $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ を $f(x) = x^2$ で定義し、集合 $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ とする。

(1) $S_1^c$ の像 $f(S_1^c)$ を求めよ。

(2) $f(S_1)$ の補集合 $(f(S_1))^c$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ であるから、$S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ である。

$f(x) = x^2$ なので、$f(S_1^c) = \{f(x) \mid x \in S_1^c\} = \{x^2 \mid x > 0\}$ である。

$x > 0$ ならば $x^2 > 0$ である。よって、$f(S_1^c) = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}$ となる。

(2)

$S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ であるから、$f(S_1) = \{f(x) \mid x \in S_1\} = \{x^2 \mid x \le 0\}$ である。

$x \le 0$ ならば $x^2 \ge 0$ である。$f(x) = x^2$ は偶関数なので、$f(S_1) = \{x^2 \mid x \le 0 \} = \{x^2 \mid x \ge 0 \} = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}$ である。

$f(S_1)^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x \notin f(S_1)\}$ であるから、$f(S_1)^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0\}$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

正解: $f(S_1^c) = \{y \in \mathbb{R} \mid y > 0\}$

その理由: $S_1^c = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$ であり、$f(x) = x^2$ なので、正の実数 $x$ の像は正の実数である。

(2)

正解: $(f(S_1))^c = \{y \in \mathbb{R} \mid y < 0\}$

その理由: $S_1 = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ であり、$f(x) = x^2$ なので、$f(S_1) = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}$ となる。よって、$f(S_1)$ の補集合は負の実数全体となる。