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$\frac{d}{dx}(\cos{\sqrt{x}})$ を計算せよ。

解析学微分合成関数の微分三角関数ルート
2025/8/6

1. 問題の内容

ddx(cos⁡x)\frac{d}{dx}(\cos{\sqrt{x}}) を計算せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を用いる。
まず、cos⁡u\cos{u} を uu で微分すると −sin⁡u-\sin{u} となる。
次に、u=xu = \sqrt{x} を xx で微分すると 12x\frac{1}{2\sqrt{x}} となる。
したがって、
ddx(cos⁡x)=ddu(cos⁡u)⋅dudx\frac{d}{dx}(\cos{\sqrt{x}}) = \frac{d}{du}(\cos{u}) \cdot \frac{du}{dx}
=−sin⁡u⋅12x= -\sin{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
=−sin⁡x⋅12x= -\sin{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
=−sin⁡x2x= -\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

3. 最終的な答え

−sin⁡x2x-\frac{\sin{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}

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