座標平面上に点 $A(4, -\frac{4}{3})$ と $B(m, n)$ がある。ただし、$m, n$ は正の実数。$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角は $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積は $\frac{40}{3}$ である。 (1) $|\vec{OA}|$ を求め、次に $|\vec{OB}|, m, n$ を求める。 (2) 実数 $s, t$ に対して、点 $P$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動くとき、$\vec{OC} = k\vec{OA}, \vec{OD} = l\vec{OB}$ を満たす点 $C, D$ を定め、点 $P$ の存在範囲を表す直線 $CD$ の方程式を求める。点 $A$ から直線 $OD$ に垂線 $AH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を $S$, $\triangle OCD$ の面積を $T$ とするとき、$\frac{S}{T}$ を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に点 $A(4, -\frac{4}{3})$ と $B(m, n)$ がある。ただし、$m, n$ は正の実数。$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ のなす角は $45^\circ$ であり、$\triangle OAB$ の面積は $\frac{40}{3}$ である。

(1) $|\vec{OA}|$ を求め、次に $|\vec{OB}|, m, n$ を求める。

(2) 実数 $s, t$ に対して、点 $P$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}, 2s + 3t = 4$ を満たしながら動くとき、$\vec{OC} = k\vec{OA}, \vec{OD} = l\vec{OB}$ を満たす点 $C, D$ を定め、点 $P$ の存在範囲を表す直線 $CD$ の方程式を求める。点 $A$ から直線 $OD$ に垂線 $AH$ を下ろすとき、点 $H$ の座標を求める。$\triangle OAH$ の面積を $S$, $\triangle OCD$ の面積を $T$ とするとき、$\frac{S}{T}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{OA}| = \sqrt{4^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{16 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{144+16}{9}} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{\sqrt{16 \times 10}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$|\vec{OA}| = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} |\vec{OA}| |\vec{OB}| \sin 45^\circ = \frac{40}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{10}}{3} \cdot |\vec{OB}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{40}{3}$

$|\vec{OB}| = \frac{40}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{4\sqrt{10} \sqrt{2}} = \frac{40}{3} \cdot \frac{12}{4 \sqrt{20}} = \frac{40}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{4 \times 5}} = \frac{40}{2\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}$

$|\vec{OB}| = 4\sqrt{5}$

$2s + 3t = 4$ より $s = 2 - \frac{3}{2}t$

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = (2 - \frac{3}{2}t)\vec{OA} + t\vec{OB} = 2\vec{OA} + t(-\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB})$

$\vec{OC} = 2\vec{OA}$ より点 $C$ は $(8, -\frac{8}{3})$.

$-\frac{3}{2}\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{0}$ のとき、$\vec{OB} = \frac{3}{2}\vec{OA}$

$|\vec{OB}| = \frac{3}{2}|\vec{OA}| = \frac{3}{2}\frac{4\sqrt{10}}{3} = 2\sqrt{10}$. これは $4\sqrt{5}$ と異なるので、$D$ は存在する。

$2s+3t = 4$ を $\frac{s}{2} + \frac{3t}{4} = 1$ と変形する。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = 2\frac{s}{2}\vec{OA} + \frac{4}{3}\frac{3t}{4}\vec{OB} = \frac{s}{2}(2\vec{OA}) + \frac{3t}{4}(\frac{4}{3}\vec{OB})$.

$\vec{OC} = 2\vec{OA}, \vec{OD} = \frac{4}{3}\vec{OB}$

$\frac{s}{2} + \frac{3t}{4} = 1$ を満たすとき、$\vec{OP}$ は $\vec{OC}, \vec{OD}$ の一次結合で表せるので、点 $P$ は直線 $CD$ 上にある。

点 $A(4, -\frac{4}{3})$ より点 $C$ の座標は $(8, -\frac{8}{3})$

$|\vec{OD}| = \frac{4}{3}|\vec{OB}| = \frac{4}{3}4\sqrt{5} = \frac{16\sqrt{5}}{3}$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos 45^{\circ} = \frac{4\sqrt{10}}{3}4\sqrt{5}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{100}}{6} = \frac{16 \cdot 10}{6} = \frac{80}{3}$

$\vec{OA} = (4, -\frac{4}{3}), \vec{OB} = (m, n)$.

$4m - \frac{4}{3}n = \frac{80}{3}$.

$12m - 4n = 80$

$3m - n = 20$.

$n = 3m - 20$

$|\vec{OB}|^2 = m^2 + n^2 = m^2 + (3m - 20)^2 = 16 \cdot 5 = 80$

$m^2 + 9m^2 - 120m + 400 = 80$

$10m^2 - 120m + 320 = 0$

$m^2 - 12m + 32 = 0$

$(m - 4)(m - 8) = 0$

$m = 4, 8$

$m = 4$ のとき $n = 12 - 20 = -8 < 0$ なので不適。

$m = 8$ のとき $n = 24 - 20 = 4 > 0$。

$\vec{OB} = (8, 4)$

点 $B (8, 4)$

点 $D$ の座標は $\frac{4}{3}(8, 4) = (\frac{32}{3}, \frac{16}{3})$

直線 $CD$ の方程式を求める。

$C(8, -\frac{8}{3}), D(\frac{32}{3}, \frac{16}{3})$

傾きは $\frac{\frac{16}{3} - (-\frac{8}{3})}{\frac{32}{3} - 8} = \frac{\frac{24}{3}}{\frac{32-24}{3}} = \frac{8}{\frac{8}{3}} = 3$

$y - (-\frac{8}{3}) = 3(x - 8)$

$y = 3x - 24 - \frac{8}{3}$

$y = 3x - \frac{72 + 8}{3} = 3x - \frac{80}{3}$

直線 $OD$ の方程式は $y = \frac{16/3}{32/3} x = \frac{1}{2} x$

直線 $AH$ は $y - (-\frac{4}{3}) = -2(x - 4)$

$y = -2x + 8 - \frac{4}{3} = -2x + \frac{20}{3}$

$\frac{1}{2}x = -2x + \frac{20}{3}$

$\frac{5}{2}x = \frac{20}{3}$

$x = \frac{20}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{3}$

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

$H = (\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$

$S = \frac{1}{2} |\vec{OH}| |\vec{AH}| = \frac{1}{2} \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} \sqrt{(4 - \frac{8}{3})^2 + (-\frac{4}{3} - \frac{4}{3})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{64+16}{9}} \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{8}{3})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{80}{9}}\sqrt{\frac{16 + 64}{9}} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{80}}{3} \frac{\sqrt{80}}{3} = \frac{1}{2} \frac{80}{9} = \frac{40}{9}$.

$\vec{OC} = (8, -\frac{8}{3}), \vec{OD} = (\frac{32}{3}, \frac{16}{3})$

$T = \frac{1}{2} |8\frac{16}{3} - (-\frac{8}{3})\frac{32}{3}| = \frac{1}{2} |\frac{128}{3} + \frac{256}{9}| = \frac{1}{2} |\frac{384 + 256}{9}| = \frac{1}{2} \frac{640}{9} = \frac{320}{9}$.

$\frac{S}{T} = \frac{40/9}{320/9} = \frac{40}{320} = \frac{1}{8}$.

3. 最終的な答え

(1)

$|\vec{OA}| = \frac{4\sqrt{10}}{3}$

$|\vec{OB}| = 4\sqrt{5}$

$m = 8, n = 4$

(2)

$C = 2, D = \frac{4}{3}$

$y = 3x - \frac{80}{3}$

$H(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$

$\frac{S}{T} = \frac{1}{8}$