(1) 半径12cm、中心角210°のおうぎ形の弧の長さと面積を求める。 (2) 図のおうぎ形と半円を組み合わせた図形の周りの長さと面積を求める。 (3) 正四面体の展開図について、以下の問いに答える。 (a) この展開図を組み立てるとき、点Fと重なる点を答える。 (b) この展開図を組み立ててできる正四面体で、辺ABとねじれの位置にある辺を答える。

1. 問題の内容

(1) 半径12cm、中心角210°のおうぎ形の弧の長さと面積を求める。

(2) 図のおうぎ形と半円を組み合わせた図形の周りの長さと面積を求める。

(3) 正四面体の展開図について、以下の問いに答える。

(a) この展開図を組み立てるとき、点Fと重なる点を答える。

(b) この展開図を組み立ててできる正四面体で、辺ABとねじれの位置にある辺を答える。

2. 解き方の手順

(1)

* おうぎ形の弧の長さの公式は $2 \pi r \times \frac{中心角}{360}$ である。

半径12cm、中心角210°を代入して、弧の長さは

$2 \pi \times 12 \times \frac{210}{360} = 2 \pi \times 12 \times \frac{7}{12} = 14 \pi$ cm

* おうぎ形の面積の公式は $\pi r^2 \times \frac{中心角}{360}$ である。

半径12cm、中心角210°を代入して、面積は

$\pi \times 12^2 \times \frac{210}{360} = \pi \times 144 \times \frac{7}{12} = 12 \times 7 \pi = 84 \pi$ cm$^2$

(2)

* 図形の周りの長さは、半径10cmの円弧と、半径10cmの半円の弧２つ分を足したものになる。

円弧の長さは、$2 \pi r \times \frac{90}{360} = 2 \pi \times 10 \times \frac{1}{4} = 5 \pi$ cm

半円の弧の長さは、 $\pi r = \pi \times 10 = 10 \pi$ cm

周りの長さは $5 \pi + 10 \pi + 10 \pi = 25 \pi$ cm

* 図形の面積は、正方形の面積から、半径10cmの扇形を引いて、半径10cmの半円を足したものである。

正方形の面積は $10 \times 10 = 100$ cm$^2$

扇形の面積は $\pi r^2 \times \frac{90}{360} = \pi \times 10^2 \times \frac{1}{4} = 25 \pi$ cm$^2$

半円の面積は $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \times 10^2 = 50 \pi$ cm$^2$

図形の面積は $100 - 25 \pi + 50 \pi = 100 + 25 \pi$ cm$^2$

(3)

(a) 正四面体の展開図を組み立てるとき、点Fと重なる点は点B。

(b) 正四面体の展開図を組み立てたとき、辺ABとねじれの位置にある辺は辺DE。

3. 最終的な答え

(1) 弧の長さ: $14 \pi$ cm、面積: $84 \pi$ cm$^2$

(2) 周りの長さ: $25 \pi$ cm、面積: $100 + 25 \pi$ cm$^2$

(3)

(a) 点B

(b) 辺DE