与えられた円錐を頂点と底面の円の中心を通る平面で切断した立体の体積、表面積、および側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた円錐を頂点と底面の円の中心を通る平面で切断した立体の体積、表面積、および側面のおうぎ形の中心角の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 立体の体積

この立体は、円錐の半分の体積です。円錐の体積は（底面積）×（高さ）×(1/3)で求められます。

底面積は、半径12cmの円の半分なので、$(1/2) \times \pi \times 12^2 = 72\pi$ 平方cmです。

高さは8cmなので、立体の体積は、$(1/3) \times 72\pi \times 8 = 192\pi$ 立方cmです。

(2) 立体の表面積

この立体の表面積は、底面の半円、側面の扇形、切断面の三角形の面積の和です。

底面の半円の面積は、$(1/2) \times \pi \times 12^2 = 72\pi$ 平方cmです。

側面の扇形の面積は、円錐の側面積の半分です。円錐の側面積は、（母線）×（底面の円周の半分）で求められます。底面の円周の半分は $12\pi$ cmなので、側面の扇形の面積は $10 \times 12\pi = 120\pi$ 平方cmです。

切断面の三角形は、底辺が24cm、高さが8cmの三角形なので、面積は $(1/2) \times 24 \times 8 = 96$ 平方cmです。

したがって、立体の表面積は $72\pi + 120\pi + 96 = (192\pi + 96)$ 平方cmです。

(3) 側面のおうぎ形の中心角の大きさ

側面のおうぎ形の弧の長さは、底面の半円の弧の長さに等しいので、$12\pi$ cmです。

扇形の半径は10cmなので、扇形の円周は $2\pi \times 10 = 20\pi$ cmです。

扇形の中心角を$\theta$とすると、$\frac{\theta}{360} \times 20\pi = 12\pi$ が成り立ちます。

したがって、$\theta = \frac{12\pi}{20\pi} \times 360 = \frac{3}{5} \times 360 = 216$ 度です。

3. 最終的な答え

(1) $192\pi$ 立方cm

(2) $(192\pi + 96)$ 平方cm

(3) 216度