(1) 図に含まれる長方形の総数を求める。 (2) 正十角形 ABCDEFGHIJ の3つの頂点を結んで三角形を作る。 (ア) できる三角形の総数を求める。 (イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。 (ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

1. 問題の内容

(1) 図に含まれる長方形の総数を求める。

(2) 正十角形 ABCDEFGHIJ の3つの頂点を結んで三角形を作る。

(ア) できる三角形の総数を求める。

(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。

(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図には縦に3本、横に4本の線がある。長方形は、縦の2本の線と横の2本の線を選ぶことで一意に定まる。縦の線の選び方は $C(4,2)$ 通り、横の線の選び方は $C(5,2)$ 通りである。よって、長方形の総数は $C(4,2) \times C(5,2)$ で計算できる。

$C(4,2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

長方形の総数 = $6 \times 10 = 60$ 個

(2)(ア) 正十角形の10個の頂点から3つの頂点を選ぶ組み合わせを計算する。これは $C(10,3)$ で求められる。

$C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 個

(2)(イ) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の数を求める。正十角形の辺は10個ある。共有する1辺を選び、残りの1つの頂点はその辺の両端の頂点と隣の頂点を除いた7個の頂点から選ぶ必要がある。したがって、三角形の数は $10 \times 7 = 70$ 個。

(2)(ウ) 正十角形と辺を共有しない三角形の数を求める。

全三角形の数から、辺を2つ共有する三角形の数と、辺を1つ共有する三角形の数を引けば良い。辺を2つ共有する三角形は10個。したがって、正十角形と辺を共有しない三角形の数は、

$120 - 70 - 10 = 40$ 個

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2)(ア) 120個

(2)(イ) 70個

(2)(ウ) 40個