直角二等辺三角形ABCにおいて、$AC = 8cm$ であり、ACの中点Oを中心に時計回りに60°回転移動させたとき、線分OBが動いてできる図形の面積を求める。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、$AC = 8cm$ であり、ACの中点Oを中心に時計回りに60°回転移動させたとき、線分OBが動いてできる図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCは直角二等辺三角形であるため、$AB = BC$。また、$AC = 8cm$であり、OはACの中点であるから、$AO = OC = 4cm$。

三角形ABOに着目する。OBの長さは、直角二等辺三角形の辺とACの長さの関係から求められる。三角形ABCにおいて、$AB = BC = x$とおくと、ピタゴラスの定理より、$x^2 + x^2 = 8^2$、$2x^2 = 64$、$x^2 = 32$、$x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。つまり、$AB = BC = 4\sqrt{2} cm$。

次に、三角形ABOにおいて、$AO = 4cm$、$AB = 4\sqrt{2}cm$。∠BAC = 45°であり、∠AOBの大きさは不明。

線分OBが動いてできる図形は扇形となる。扇形の半径はOBの長さであり、中心角は60°である。

点OからABに垂線を下ろし、その交点をDとする。すると、三角形ADOは直角二等辺三角形となる。

$AD = DO = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$。

$BD = AB - AD = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。

三角形OBDは直角三角形なので、$OB^2 = OD^2 + BD^2 = (2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 = 8 + 8 = 16$。よって、$OB = 4cm$。

扇形の面積を求める。扇形の半径は4cm、中心角は60°なので、扇形の面積は

$\pi \times 4^2 \times \frac{60}{360} = 16\pi \times \frac{1}{6} = \frac{8}{3}\pi$。

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}\pi cm^2$