直角二等辺三角形$ABC$があり、$AC = 8$ cm です。$AC$の中点$O$を中心に、三角形を時計回りに $60^\circ$ 回転させたとき、線分$OB$が動いてできる図形の面積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形$ABC$があり、$AC = 8$ cm です。$AC$の中点$O$を中心に、三角形を時計回りに $60^\circ$ 回転させたとき、線分$OB$が動いてできる図形の面積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。

2. 解き方の手順

三角形$ABC$は直角二等辺三角形なので、$AC = BC = 8$ cm です。点$O$は$AC$の中点なので、$AO = CO = 4$ cm です。また、$\angle ACB = 90^\circ$なので、$\angle BAC = \angle ABC = 45^\circ$ です。

線分$OB$の長さは、三角形$OBC$において、$OC = 4$ cm, $BC = 8$ cm, $\angle OCB = 90^\circ$ であることから、三平方の定理より、

$OB^2 = OC^2 + BC^2 = 4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80$

したがって、$OB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ cm です。

線分$OB$が動いてできる図形は、扇形の一部です。この扇形の半径は$OB = 4\sqrt{5}$ cm で、中心角は$60^\circ$です。

したがって、求める面積は、半径 $4\sqrt{5}$ cm, 中心角 $60^\circ$ の扇形の面積です。

扇形の面積は、$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360}$ で計算できます。ここで、$r$は半径、$\theta$は中心角です。

したがって、求める面積は、

$\pi (4\sqrt{5})^2 \times \frac{60}{360} = \pi (16 \times 5) \times \frac{1}{6} = \pi \times 80 \times \frac{1}{6} = \frac{40}{3}\pi$ cm$^2$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{40}{3}\pi$ cm$^2$